Matematik denince akla muhtemelen sayılar, karmaşık denklemler veya üçgenlerin açılarını hesaplamak geliyordur. Ama sizi matematisel evrenin en karmaşık ve en eğlenceli dallarından biriyle tanıştırmak istiyorum: Topoloji.
Topoloji, şekillerin büyüklükleriyle veya açılarıyla ilgilenmez. Onun yerine, bir şeklin "özünü" neyin oluşturduğunu inceler. Bu yüzden topologlara (topoloji çalışan matematikçilere) genellikle "hamurla oynayan geometriciler" denir. Çünkü onlar için bir şekli kesip koparmadığın veya birbirine yapıştırmadığın sürece, onu istediğin kadar esnetmek, bükmek veya sıkıştırmak serbesttir.
Peki bu ne anlama geliyor? Şöyle düşünün: Elinizde oyun hamurundan yapılmış bir kahve fincanı var. Fincanın kulbu sayesinde ortasında bir delik bulunuyor. Eğer bu hamuru kesmeden ve yırtmadan sadece elinizle ezip bükerseniz, onu mükemmel bir simit (yani matematiksel adıyla torus) şekline dönüştürebilirsin! İşte bu yüzden topolojide bir kahve fincanı ile bir simit aslında aynı şeydir. Çünkü her ikisinin de sadece bir tane deliği vardır.
Bu şekilde iki tane farklı (aslında çok da farklı değil,) objenin topolojik olarak birbirlerine benzemesine homeomorfizma denir.
Topoloji: Şekil değişse de yapı aynı kalır
En basit tanımıyla homeomorfizma: İki geometrik şeklin "topolojik olarak ikiz" olması durumudur.
Eğer bir şekli kesmeden, koparmadan, yırtmadan veya yeni delikler açmadan sadece eğip bükerek, çekerek başka bir şekle dönüştürebiliyorsan, bu iki şekil birbirine homeomorftur (yani eş yapılıdır). Bu dönüşüm sürecinin kendisine de homeomorfizma denir.
İşte bu kavramı zihninde canlandırmanı sağlayacak 3 temel kural:
Süreklilik: Şekli deforme ederken hiçbir yerini yırtamaz veya koparamazsın. Yakın olan noktalar, dönüşümden sonra da birbirine yakın kalmalıdır.
Tersine Birliktelik (Birebir ve Örten): İlk şeklin her noktası yeni şekilde tam olarak bir noktaya denk gelmeli ve dışarıda hiç açıkta nokta kalmamalıdır.
Geri Dönüşebilirlik: Yaptığın işlemi aynı kurallarla (yırtmadan, yapıştırmadan) geriye sarıp ilk şekli tekrar elde edebilmelisin
Mesela bir küre (futbol topu) ile bir küp (zar) topolojik olarak birbirinin aynısıdır. Küpün köşelerini içeri doğru itip şişirirsek bir küre elde ederiz; ne bir yırtılma olur ne de yeni bir delik açılır. Ama bir küreyi ortası delik bir simide dönüştüremeyiz, çünkü simit yapmak için kürenin ortasında bir delik açmak (yani sürekliliği bozmak) gerekir!
Mesela bu örnekte de bir daire bir üçgene dönüşmekte. Bu teknik olarak bir homeomorfizma örneği olamaz, çünkü şekil üç boyutlu değil, ama aynı mantık ile işlemekte: şeklin hiçbir yeri deforme edilmiyor, bir daireye geri dönüşebiliyor ve her bir noktası yeni şekilde bir yere denk geliyor.
Homeomorfizma günlük hayatımızda nerelerde kullanılıyor?
Homeomorfizma konseptleri düşündüğünüz gibi yalnız bir matematik sınıfında bulunan bir konu değil, günlük hayatımızda da büyük bir rolü var.
Homeomorfizma, aslında farkında bile olmadan her gün kullandığımız birçok teknolojinin ve sistemin temelini oluşturur. Örneğin, her gün telefonumuzda kullandığımız navigasyon uygulamaları (Google Haritalar vb.) tamamen bu mantıkla çalışır. Dünya küre şeklindedir ve yollar kıvrımlıdır; ancak telefon ekranındaki dümdüz harita ile gerçek dünya arasında kurulan o esnek matematiksel bağ bir homeomorfizmadır.
Tıp dünyasında ise biyologlar, DNA zincirlerinin veya proteinlerin karmaşık bir şekilde birbirine dolanmasını ve düğümlenmesini incelerken ya da beyindeki nöronların oluşturduğu karmaşık ağları haritalandırırken bu kavramdan yararlanırlar.
Benzer şekilde, bilgisayar grafiklerinde ve animasyonlarda bir karakterin yüzünü güldürmek veya bir nesneyi esnetmek için görüntüyü yırtmadan deforme etmek gerekir ki bu da dijital bir homeomorfizmadır. Bunu animatörler üç boyutlu bir objenin fiziksel özelliklerini iki boyutlu bir bilgisayar ekranında olabildiğince gerçekçi göstermeye çalışarak başaraırlar, gerçekten çok dikkate değer bir süreç.