Okulda gördüğümüz geometride iki nokta arasındaki mesafe hep düz bir çizgi çekilerek (Öklid uzaklığı) ölçülür. Ama topolojide "uzaklık" kavramı tamamen baştan yazılır. Bir kümenin "Metrik Uzay" olabilmesi için d(x,y) şeklinde bir uzaklık fonksiyonuna ihtiyacı vardır ve bu fonksiyon şu 4 katı kurala uymalıdır:
İki nokta arasındaki uzaklık negatif olamaz
İki nokta arasındaki uzaklık sadece ve sadece noktalar aynıysa sıfırdır.
x'ten y'ye gitmekle, y'den x'e gitmek aynı mesafedir.
Üçgen Eşitsizliği: Direkt gitmek, her zaman bir yere uğrayıp gitmekten daha kısa veya eşittir.
Metrik Uzaylar ve Komşuluk
Neden Önemli?
Bu kurallara uyan her şey bir metrik uzaydır! Örneğin, bir şehirdeki taksi mesafesi (Manhattan metriği) Öklid geometrisine uymaz çünkü binaların içinden geçemezsin, sadece sokaklardan (sağa ve yukarı) gidebilirsin. Topoloji, bu kuralları kullanarak "Açık Küme" ve "Komşuluk" kavramlarını tanımlar. Bir noktaya "yeterince yakın" olan diğer noktaların kümesine komşuluk denir. Topoloji, cetvelleri kırıp atarak sadece bu "komşuluk" ilişkileri üzerinden evreni anlamaya çalışır.
Metrik uzaylar günlük hayatımızda nerelerde kullanılıyor?
Spotify’da bir şarkı dinledikten sonra uygulamanın sana çok benzer başka bir şarkı önermesi ya da Trendyol’un "bunu alanlar bunu da aldı" demesi tamamen metrik uzaylar sayesinde olur.
Nasıl Çalışır? Sistem her kullanıcıyı veya her şarkıyı binlerce farklı özelliğe (şarkının temposu, neşesi, kullanılan enstrümanlar vb.) göre devasa bir çok boyutlu uzayda birer nokta olarak tanımlar. Metrik Devreye Girer: İki şarkı arasındaki "benzerlik", o soyut uzaydaki iki nokta arasındaki matematiksel uzaklıktır. Sistem, senin dinlediğin şarkı noktasına en yakın (komşu) olan diğer şarkı noktalarını bulur. İşte bu "yakınlığı" hesaplayan kurallar tamamen birer metrik fonksiyondur.
GPS ve navigasyon uygulamaları sadece düz çizgi üzerindeki mesafeyi hesaplasaydı sürekli duvara toslardık. Şehir içinde, özellikle ızgara planlı (New York gibi) şehirlerde A noktasından B noktasına gitmek için binaların içinden çapraz geçemezsin; sadece sokakları takip ederek sağa, sola, yukarı veya aşağı gidebilirsin. İşte bu yüzden navigasyon algoritmaları, Öklid geometrisi yerine Manhattan Metriği adı verilen bir metrik uzay kullanır. Bu uzayda iki nokta arasındaki mesafe, dikey ve yatay sokak uzunluklarının toplamıdır. Kargo şirketleri (UPS, Yurtiçi vb.) kuryelerin rotalarını en verimli şekilde çizmek için bu metrik uzay kurallarını kullanan yapay zeka algoritmalarından yararlanır.
Telefonunuzu yüzünüzle açtığınızda veya havaalanlarındaki pasaport kontrol noktalarından geçerken kameralar yüzünüzü tarar. Sistem, iki gözünüzün arasındaki mesafeyi, burnunuzun çenenize olan uzaklığını, elmacık kemiklerinizin açısını ölçer ve yüzünüzü yüzlerce sayıdan oluşan bir "yüz vektörüne" dönüştürür. Telefonun kamerasına her baktığınızda, o anki yüz vektörünüz ile sistemde kayıtlı olan orijinal yüz vektörün arasındaki uzaklık hesaplanır. Eğer bu iki nokta, metrik uzayda belirlenen bir "güvenlik komşuluğunun" içindeyse (yani birbirine matematiksel olarak aşırı yakınsa) telefonunun kilidi açılır.