İlkokuldan beri bildiğimiz küp, piramit veya küre gibi şekillerin arkasında büyüleyici bir sır saklıdır. Bu sırrı Leonhard Euler keşfetmiştir.

Diyelim ki elimizde çok yüzlü (polyhedron) bir katı cisim var. Köşe sayısına V, kenar sayısına E ve yüzey sayısına F diyelim. Hangi dışbükey çok yüzlüyü alırsan al, şu formül her zaman 2 çıkar:

V-E+F=2

Örnek: Bir küp düşün. 8 köşesi (V), 12 kenarı (E) ve 6 yüzeyi (F) vardır. 8 - 12 + 6 = 2. Bir piramit düşün: 5 köşe, 8 kenar, 5 yüzey. 5 - 8 + 5 = 2.

Topoloji Burada Nereye Giriyor?

Matematikçiler fark etti ki bu 2 sayısı aslında o şeklin deliksiz bir küreye benzediğini gösteriyor. Eğer şeklin ortasında bir delik varsa (mesela bir simit / torus), bu formülün sonucu her zaman 0 çıkar! İki delikli bir simit alırsan sonuç -2 çıkar. İşte bu sonuca o yüzeyin Euler Karakteristiği denir. Bu sayı bir topolojik değişmezdir; yani bir şekli yırtmadan ne kadar ezip büzersen büz, bu değer asla değişmez.

Euler karakteristiği ve delik sayısı

Daha önce bahsettiğimiz V - E + F = 2 (Köşe - Kenar + Yüzey = Euler Karakteristiği) formülü, alelade bir geometrik hesaplama değildir. Bu formül, bir nesneyi ne kadar eğip bükerseniz bükün asla değişmeyen topolojik bir damgadır. Topolojide nesneleri kaç tane "deliği" olduğuna göre sınıflandırırız ve bu delik sayısına matematik dilinde "Cins" (Genus) denir.

• Küre (0 Delik - Cins 0): Euler karakteristiği = 2'dir. Bir küp, piramit veya futbol topu yırtılmadan küreye dönüşebildiği için hepsinin Euler karakteristiği $2$ çıkmak zorundadır.

• Simit / Kahve Fincanı (1 Delik - Cins 1): Euler karakteristiği = 0'dır.

• İki Delikli Simit (2 Delik - Cins 2): Euler karakteristiği = -2'dir.

Şekil karmaşıklaştıkça formül şu muazzam genel yapıya bürünür: = 2 - 2g (g burada delik sayısıdır).

Yani bir nesnenin sadece köşelerini ve yüzeylerini sayarak, onun içinde kaç tane delik olduğunu nesnenin içine hiç bakmadan dışarıdan anlayabilirsiniz!